Question

Um poliedro convexo é constituído por 4 faces triangulares, 8 faces quadrangulares e 6 faces pentagonais. Quantas arestas possuí esse poliedro?
Use: V - A + F = 2

Answer 1

Uma face triangular é formada por 3 arestas, a quadrangular é formada por 4 arestas e a face pentagonal, por 5 arestas.

Antes de começarmos a contar o total de arestas, devemos lembrar que, nos poliedros, toda aresta é compartilhada por 2 faces, logo o numero de arestas será dado por:

$Total~de~Areastas~=~\dfrac{^{Arestas~das~Faces}_{~~~Triangulares}~+~^{Arestas~das~Faces}_{~~~Quadrangulares}~+~^{Arestas~das~Faces}_{~~~Pentagonais}}{2}\\\\\\Total~de~Areastas~=~\dfrac{(4~.~3)~+~(8~.~4)~+~(6~.~5)}{2}\\\\\\Total~de~Areastas~=~\dfrac{12~+~32~+~30}{2}\\\\\\Total~de~Areastas~=~\dfrac{74}{2}\\\\\\\boxed{Total~de~Areastas~=~37}$

Vamos agora determinar o total de faces:

$Total~de~Faces~=~4~triangulares~+~8~Quadrangulares~+~6~Pentagonais\\\\\\\boxed{Total~de~Faces~=~18}$

Agora, utilizando a relação de Euler:

$V~+~F~=~A~+~2\\\\\\V~+~18~=~37~+~2\\\\\\V~=~39~-~18\\\\\\\boxed{V~=~21~vertices}$