Question

Determine a inversa das matrizes se existir
Há uma dúvida, por mais que eu consiga efetuar os cálculos, quando eu multiplicar A.A(-1)= I eu devo obter uma matriz identidade, não é

Obs : gostaria de um passo a passo,

Answer 1

A inversa de uma matriz $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ é a matriz $\left[\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]$ tal que o produto $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Se o determinante de uma matriz for zero, esta matriz não tem inversa.

Isto fica claro por que caso tenha determinante zero, a matriz reduz para a forma $\left[\begin{array}{cc}a&b\\a&b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a&b\\0&0\end{array}\right]$ e esta não possui inversa.

O determinante de uma matriz 2x2 pode ser obtido pela regra de crammer

$det \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = ad -bc$

Letra a)

$det \left[\begin{array}{cc}4&3\\1&1\end{array}\right] = 4 - 3 = 1$

Logo esa matriz tem inversa

Podemos obter a inversa pelo Método do Escalonamento de Gauss aplicado em uma matriz estendida A = M | I

$\left[\begin{array}{cccc}4&3&1&0\\1&1&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}4&3&1&0\\-4&-4&0&-4\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cccc}4&3&1&0\\0&-1&1&-4\end{array}\right] =\\\\\\=  \left[\begin{array}{cccc}4&3&1&0\\0&-3&3&-12\end{array}\right] =  \left[\begin{array}{cccc}4&0&4&-12\\0&-3&3&-12\end{array}\right] = \\\\=  \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&-3\\0&1&-1&4\end{array}\right]$

assim, a matriz obtida é:

$\left[\begin{array}{cccc}1&-3\\-1&4\end{array}\right]$

efetuando o produto de matrizes:

$\left[\begin{array}{cccc}1&-3\\-1&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}4&3\\1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}4-3&3-3\\-4+4&-3+4\end{array}\right]$

Letra b)

$det \left[\begin{array}{cc}5&3\\3&2\end{array}\right] = 10-9 = 1$

Logo esa matriz tem inversa

Novamente, podemos obter a inversa pelo Método do Escalonamento de Gauss aplicado em uma matriz estendida A = M | I

$\left[\begin{array}{cccc}5&3&1&0\\3&2&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}15&9&3&0\\-15&-10&0&-5\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cccc}15&9&3&0\\0&-1&3&-5\end{array}\right] =\\\\\\=  \left[\begin{array}{cccc}15&9&3&0\\0&-9&27&-45\end{array}\right] =  \left[\begin{array}{cccc}15&0&30&-45\\0&-9&27&-45\end{array}\right] = \\\\=  \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&-3\\0&1&-3&5\end{array}\right]$

assim, a matriz obtida é:

$\left[\begin{array}{cccc}2&-3\\-3&5\end{array}\right]$

Ao efetuar o produto da inversa pela matriz dada, obteremos novamente a identidade.