Question

equação diferencial de segunda ordem y''-10y'-25y=0​

Answer 1

A solução da equação diferencial é $\boxed{y(x) = c_1\,e^{5(1+\sqrt{2})x}+c_2\,e^{5(1-\sqrt{2})x}}$ .

Solução:

Queremos determinar a solução da equação diferencial de coeficientes

constantes:

$y''-10y'-25y=0$

Suponha que as soluções dessa equação são funções do tipo

$y=y(x)=e^{rx}$ com $r \in \mathbb{R}$ .

Calcule a derivada primeira e segunda da função exponencial:

$y'=re^{rx}\\\\y''=r^2e^{rx}$

Substitua na equação original:

$r^2e^{rx}-10re^{rx}-25e^{rx}=0$

Coloque o termo da exponencial em evidência:

$e^{rx}\cdot (r^2-10r-25)=0$

Observe que o termo exponencial nunca pode ser zero (veja figura),

portanto devemos ter:

$r^2-10r-25 = 0$

a qual chamamos de equação característica.

Utilizando a fórmula quadrática para resolver, obtemos:

$\Delta = b^2-4\cdot a \cdot c\\\\\Delta = (-10)^2-4\cdot 1 \cdot (-25)\\\\\Delta = 100+100\\\\\therefore \boxed{\Delta = 200}$

Logo:

$r=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{200}}{2\cdot 1}\\\\\\r=\dfrac{10\pm 10\sqrt{2}}{2}=5\pm 5\sqrt{2}\\\\\\r_1=5+5\sqrt{2} \longrightarrow \,\, \therefore \boxed{r_1=5(1+\sqrt{2})}\\\\r_2=5-5\sqrt{2} \longrightarrow \,\, \therefore \boxed{r_2=5(1-\sqrt{2})}$

Portanto, as soluções da equação diferencial são:

$y_1(x)=e^{r_1x} \longrightarrow \,\,\therefore \boxed{y_1(x)=e^{5(1+\sqrt{2})x}}\\\\y_2(x)=e^{r_2x} \longrightarrow \,\,\therefore \boxed{y_2(x)=e^{5(1-\sqrt{2})x}}$

Como y₁ e y₂ são soluções, a combinação linear delas também é.

Então, a solução geral da equação diferencial é:

$\therefore \boxed{y(x) = c_1 \, e^{5(1+\sqrt{2})x}+c_2\,e^{5(1-\sqrt{2})x}}$

onde c₁ e c₂ são constantes reais.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

https://brainly.com.br/tarefa/6892914

Bons estudos!

Equipe Brainly