Question

Determine a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos (0,0), (2,0).

Answer 1

A expressão geral para uma função quadrática é:

$f(x) = a {x}^{2} + bx \: + c$

E a descrição para um ponto no gráfico é:

(x,y) ou (x,f(x))

Os pontos dados, (0,0) e (2,0), correspondem as raízes da função, ou

tbm, conhecidos como x' e x".

Quando x = 0, y = 0.

Quando x = 2, y = 0.

Se x assume o valor de zero, y naturalmente assume o valor de c.

Nesse caso não existe c, ou melhor,

c = 0.

Então essa função têm esse aspecto:

$f(x) = a{x}^{2} + bx = 0$

Um dos pontos diz que x = 2,

produz y = 0.

$0 = a {2}^{2} + 2b \\ \\ 0 = 4a + 2b$

Pra função se tornar nula, ela deve ficar igual a 4 - 4.

Nesse caso;

a = 1 e b = - 2

ou

a = - 1 e b = 2

O fato da constante c, ser igual a zero, produz o discriminante idêntico, e isso implica em duas expressões distintas com raízes iguais.

As funções quadráticas que correspondem aos pontos dados são:

Concavidade voltada para cima;

$f(x) = {x}^{2} - 2x$

Concavidade voltada para baixo;

$f(x) = - {x}^{2} + 2x$

Como a questão não especifica um valor máximo ou mínimo para a função, ambas servem para os propósitos da mesma.