Question

O lucro total sobre a venda de x unidades de certo produto é dado pela função : L(x)= -2/3x^3 + 8x^2 + 40x - 8/3. Estude a variação desse lucro.

Answer 1

O lucro é máximo com 10 unidades vendidas.

Sempre que tratamos da variação de um determinado valor, devemos estudar sua derivada, que é uma taxa de variação.

Nesse caso, tratando de uma função lucro, um estudo muito importante é o lucro máximo. A partir da derivada desta função, podemos determinar qual deve ser a quantidade X de unidades vendidas para obter esse valor.

Para isso, vamos derivar a equação e igualar a zero. Como temos uma função de terceiro grau, a derivada irá resultar em uma equação de segundo grau. Então, para resolvê-la, vamos aplicar o método de Bhaskara.

Logo:

$L(x)=-\frac{2}{3}x^3+8x^2+40x-\frac{8}{3}\\ \\ L'(x)=-2x^2+16x+40=0 \ (\div -2)\\ \\ x^2-8x-20=0\\ \\ \\ \Delta=(-8)^2-4\times 1\times (-20)=144\\ \\ x_1=\frac{8+\sqrt{144}}{2}=10\\ \\ x_2=\frac{8-\sqrt{144}}{2}=-2$

Note que a segunda raiz é negativa, então devemos descartar seu valor. Deste modo, o número ideal de unidades vendidas é 10.