Question

Matriz inversa (1 4) (2 5 )

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Devemos lembrar que M · M⁻¹ = I (a matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In).

Seja a matriz

    $M=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ e a matriz identidade $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Então:

    $\left[\begin{array}{ccc}1&4\\2&5\\\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

    $\left[\begin{array}{ccc}1.a+4.c&1.b+4.d\\2.a+5.c&2.b+5.d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

    $\left[\begin{array}{ccc}a+4c&b+4d\\2a+5c&2b+5d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Fazendo a equivalência dos elementos com a matriz identidade, temos

    $\left\{{{a+4c=1}\atop{2a+5c=0}}\right.$

    $\left\{{{b+4d=0}\\\atop{2b+5d=1}}\right.$

Temos dois sistemas.

No primeiro sistema, multiplique a primeira equação por -2 para cancelarmos o a e calcular o c e no segundo sistema, multiplique a primeira equação por -2 para cancelarmos o b e calcular o d.

cálculo do primeiro sistema

    -2a - 8c = -2

    2a + 5c = 0

            -3c = -2  →  $c=\frac{-2}{-3}$  →  $c=\frac{2}{3}$

    substitua o valor de c em qualquer equação do primeiro sistema

    para acharmos o valor de a

    $a+4c=1$  →  $a+4.\frac{2}{3}=1$  →  $a+\frac{8}{3}=1$  →  $a=1-\frac{8}{3}$  →  $a=-\frac{5}{3}$

cálculo do segundo sistema

    -2b - 8d = 0

    2b + 5d = 1

            -3d = 1  → $d=-\frac{1}{3}$

   

    substitua o valor de d em qualquer equação do segundo sistema

    para acharmos o valor de b

    $b+4d=0$  →  $b+4.(-\frac{1}{3})=0$  →  $b-\frac{4}{3}=0$  →  $b=0+\frac{4}{3}$  →  $b=\frac{4}{3}$

Daí, a matriz inversa será

    $M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3} \\\end{array}\right]$