Question

Na tirinha a seguir, Calvin tem que resolver um problema:

Dado dois planos:







(Adaptado, O Estado de São Paulo, 16/08/97)

Assinale a alternativa correta.

Alternativas:

a)
30º

b)
45º

c)
90º

d)
110º

e)
120º

Answer 1

Resposta:

O ângulo entre estes dois planos é de 90°. Alternativa c).

Explicação:

O ângulo entre dois planos é calculado através do ângulo entre os seus vetores normais. Dado um plano da forma ax + by + cz + d = 0, o vetor normal desse plano é (a, b, c).

Chama-se “ângulo de dois planos” o ângulo formado entre os dois vetores normais a esses planos, logo, calcula-se o ângulo de dois planos da mesma forma que se calcula o ângulo entre dois vetores: cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||

Dos dois planos, encontramos os vetores n1 = (3, 1, -2) e n2 = (1, -1, 1). O ângulo entre dois vetores u e v é dado plea fórmula:

cos(x) = u·v/|u|.|v|

Temos então que:

n1 · n2 = (3, 1, -2)·(1, -1, 1) = 3.1 + 1.(-1) + (-2).1

n1 · n2 = 0

cos(x) = 0/|u|.|v|

cos(x) = 0

x = 90°.

Nota: falta as informações do plano, mas como esse exercício é análogo á alguns exercícios já resolvidos, segui o padrão deles, como uma forma de se mostrar um parâmetro de resolução, desse tipo de exercício.