Question

Se x e y são números reais positivos, então
$\sqrt{xy} \leqslant \frac{x + y}{2}$
Obs: O que quero é uma demonstração, isso no caso é um teorema.


Hipótese: Se x e y....

Tese: Então √xy...


Desde já agradeço :-)

Answer 1

Resposta:

“”Quod erat demonstrandum”” a condição √xy ≤ (x + y)/2 é verdadeira dado que a condição 0 ≤ (x -  y)² também é verdadeira

Explicação passo-a-passo:

.

Só tem uma hipótese de demonstrar um Teorema …é desenvolvendo o cálculo que está associado a ele ….transformando-o em uma outra “verdade universal” confirmável.

Como em qualquer Teorema vc não vai ter “valores” para efetuar a demonstração (pois a depender desses valores o Teorema poderia perder a “universalidade” da aplicação).

Assim o resultado final vai ser sempre uma “expressão” (condição) deduzida do Teorema e que indica os valores (ou grupo de valores) que podem assumir as varáveis e que relação deve existir entre as variáveis para que a “condição” expressa no Teorema se mantenha.

Complicado?? ..nem tanto …vamos resolver que tudo fica mais compreensível

Temos a expressão (Teorema) inicial:

√xy ≤ (x + y)/2

…sabemos apenas que " X e Y são números reais positivos" ..sejam eles quais forem

Resolvendo a expressão:

Vamos começar por eliminar a raiz e para isso vamos aplicar a operação inversa no outro membro da inequação

x.y  ≤  [ (x + y)/2 ]²

donde resulta

x.y ≤ (x + y)²/(2)²

temos um caso notável que desenvolvido resulta em

x.y  ≤ (x² + 2xy + y²)/4

4.x.y ≤ (x² + 2xy + y²)

Vamos agrupar a expressão toda de um dos lados da inequação

..assim podemos continuar o desenvolvimento e …simultaneamente, criamos (no outro membro) uma “referência limite” (valor) para a “nova condição”

0 ≤ (x² + 2xy + y²) - 4.x.y

0 ≤ x² + 2xy + y² - 4.x.y

0 ≤ x² - 2xy + y²  

Chegamos a um novo caso notável que temos de “agregar”

..donde resulta

0 ≤ (x -  y)² …pronto ..não tem como continuar a resolução  

…só resta verificar a sua validade  

Sabemos que “x” e “y” são números reais positivos  

…logo os valores possíveis para qualquer das variáveis será “x ≥ 0” e “y ≥ 0”

Veja que QUAISQUER QUE SEJAM os valores de “x” e de “y” (mesmo que diferença x – y resulte em número negativo) como temos um “expoente par” o resultado da inequação será SEMPRE maior ou igual a zero.

…mesmo que ambos sejam “’0” (ou seja ..mesmo que se verifique a identidade x = y) a condição expressa na inequação mantém-se válida. ….logo está provada a sua validade!!

Como complemento de informação veja que mesmo que “x” e “y” FOSSEM números reais NEGATIVOS, como temos um “expoente par” a condição  0 ≤ (x -  y)² continuava a ser válida!

…isto implica que a única condição impossível seria 0 > (x -  y)²

Assim, “”Quod erat demonstrandum”” a condição √xy ≤ (x + y)/2 é verdadeira dado que a condição 0 ≤ (x -  y)² também é verdadeira e foi demonstrada acima.

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

√(xy) ≤ (x+y)/2

como x e y ≥ 0 , podemos fazer:

(√x -√y)² ≥ 0   sempre será ≥ 0

(√x -√y)² =x-2√xy +y

0 ≤ x-2√xy +y

2√xy ≤ x+y

√xy ≤ (x+y)/2   é verdadeira a reçlação