Question

75. (FGV-2010) Dados os números reais positivos x e y, admita
que xoy=x. Se 2 (x+y)=160 (x-y), então
log(x) -log(y)
é igual a :
N
A) log2
OK
B) log 3V
C) log2
b) log de​

Answer 1

Então $\frac{log(x)-log(y)}{2}$ é igual a $log\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Reescrevendo o enunciado:

Dados os números reais positivos x e y, admita que $x*y=x^y$. Se √2*(x + y) = 16*(x - y), então $\frac{log(x)-log(y)}{2}$ é igual a:

a) $log\frac{3\sqrt{7}}{7}$

b) $log\frac{2\sqrt{5}}{5}$

c) $log\frac{2\sqrt{3}}{5}$

d) $log\frac{\sqrt{2}}{3}$

e) $log\frac{\sqrt{3}}{4}$

Solução

Do enunciado, temos que a operação * é definida por $x*y=x^y$.

Sendo assim, os valores de √2*(x + y) e 16*(x - y) são iguais a:

$\sqrt{2}*(x+y)=\sqrt{2}^{x+y}$

e

$16*(x-y)=16^{x-y}$.

Perceba que podemos escrever a √2 como $2^{\frac{1}{2}}$ e também podemos escrever o 16 como sendo 2⁴.

Assim,

$\sqrt{2}*(x+y)=(2^{\frac{1}{2}})^{x+y}$

e

$16-(x-y)=(2^{4})^{x-y}$.

Daí, temos a igualdade:

$(2^{\frac{1}{2}})^{x+y} = (2^{4})^{x-y}$.

Perceba que as bases são iguais. Então, podemos trabalhar apenas com os expoentes:

1/2(x + y) = 4(x - y)

x + y = 8(x - y)

x + y = 8x - 8y

7x - 9y = 0

7x = 9y

x/y = 9/7.

A propriedade de subtração de logaritmos de mesma base nos diz que:

$log(x) = log(x) = log(\frac{x}{y})$.

Portanto,

$\frac{log(x)-log(y)}{2}=\frac{log(\frac{x}{y})}{2}$

$\frac{log(x)-log(y)}{2}=\frac{log(\frac{9}{7})}{2}$

$\frac{log(x)-log(y)}{2}=log(\frac{9}{7})^{\frac{1}{2}}$

$\frac{log(x)-log(y)}{2}=log(\frac{3}{\sqrt{7}})$

$\frac{log(x)-log(y)}{2}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Alternativa correta: letra a).