Question

A respeito de uma função quadrática f, sabe-se que:
f(0) = 5
f(2) = -1
f(-1) = 14

a) Qual é a lei de formação da função f?

b) Qual o valor de m para o qual f(m+2) = f(m-1)?

Answer 1

Resposta:

a) y = 2x² - 7x + 5

b) m = 5/4

Explicação passo-a-passo:

Toda função quadrática é dada, de forma geral, por y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Em f(0) = 5, significa que quando x = 0, então y = 5;

Em f(2) = -1, significa que quando x = 2, então y = -1;

Em f(-1) = 14, significa que quando x = -1, então y = 14.

Substituindo as três igualdades, temos:

f(0) = 5 => 0²a + 0b + c = 5 => c = 5;

f(2) = -1 => 2²a + 2b + 5 = -1 => 4a + 2b = -1 - 5 => 4a + 2b = -6 (dividindo todos os termos por 2, fica 2a + b = -3);

f(-1) = 14 => (-1)²a + (-1)b + 5 = 14 => a - b = 14 - 5 => a - b = 9.

Resolvendo o sistema de equações, com as equações em negrito, temos:

2a + b = -3

a - b = 9

3a = 6

a = 6/3

a = 2

a = b + 9

2 = b + 9

b = 2 - 9

b = -7

Logo, temos que a = 2, b = -7 e c = 5. Substituindo na forma geral de uma equação quadrática, fica:

y = ax² + bx + c => y = 2x² - 7x + 5

Agora, calculando f(m + 2), temos:

y = f(x) = 2x² - 7x + 5 => f(m + 2) = 2(m + 2)² - 7(m + 2) + 5 = 2(m² + 4m + 4) - 7m - 14 + 5 = 2m² + 8m + 8 - 7m - 9 = 2m² + m - 1

Agora, calculando f(m - 1), temos:

y = f(x) = 2x² - 7x + 5 => f(m - 1) = 2(m - 1)² - 7(m - 1) + 5 = 2(m² - 2m + 1) - 7m + 7 + 5 = 2m² - 4m + 2 - 7m + 12 = 2m² - 11m + 14

f(m+2) = f(m-1) => 2m² + m - 1 = 2m² - 11m + 14 => m - 1 = -11m + 14 => m + 11m = 14 + 1 => 12m = 15 => m = 15/12 => m = 5/4