Question

Determine a equação reduzida da elipse cujos focos estão sobre a reta y+6=0 o ponto B(3,-11) é um dos extremos do eixo menor e a excentricidade e=1/√2.

Answer 1

A equação reduzida de uma elipse com centro em (x', y') e focos no eixo paralelo ao eixo x é:

(x - x')²/a² + (y - y')²/b² = 1

Se os focos estão na reta y + 6 = 0 (y = -6) e (3, -11) é um dos pontos extremos do eixo menor, o centro da elipse é o ponto (3, -6), já que o mesmo é a interseção entre os eixos maior e menor.

Se um dos extremos do eixo menor é (3, -11) e o centro é (3, -6), a distância entre o extremo e o centro é o valor do semieixo menor b, logo:

b = -6 - (-11)

b = 5

A excentricidade da elipse é dada por c/a, logo:

1/√2 = c/a

a = c√2

Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos relacionar a, b e c:

a² = b² + c²

2c² = 5² + c²

c² = 5²

c = 5

a = 5√2

a² = 50

Assim, a equação reduzida dessa elipse é:

(x - 3)²/50 + (y + 6)²/25 = 1