Question

Sejam quatro números inteiros tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão três, os três últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto. Determine esses quatros números.

Answer 1

Os quatros números inteiros são: -4, -1, 2 e -4.

Inicialmente, não conhecemos nenhum número, então vamos considerar o primeiro termo sendo X. Uma vez que temos uma progressão aritmética de razão 3 entre os três primeiros números, podemos determinar o segundo e o terceiro termos da sequência. Por ser uma PA, devemos somar a razão a cada termo. Assim:

$a_1=x\\ \\ a_2=x+3\\ \\ a_3=x+3+3=x+6$

Agora, vamos determinar o último número da sequência (quarto termo, que é igual ao primeiro, ou seja, X) utilizando a informação da progressão geométrica, onde uma razão é multiplicada a cada termo.

Para determinar essa razão, basta dividir um termo por seu antecessor. Uma vez que a razão é igual, vamos igualar a razão entre o 4º e 3º termos com a razão do 3º e 2º termos. Desse modo, podemos calcular o valor da incógnita do problema. Logo:

$\frac{x}{x+6}=\frac{x+6}{x+3}\\ \\ x^2+3x=x^2+12x+36\\ \\ 9x=-36\\ \\ \boxed{x=-4}$

Por fim, podemos determinar todos os valores. Os quatros números da sequência são:

$a_1=a_4=-4\\ \\ a_2=-4+3=-1\\ \\ a_3=-4+6=2$