Question

No conjunto V = {(x,y) / x,y E R } definimos adição assim: (x1,y1) (x2,y2) =(x1 x2,0)? no conjunto V = {(x,y) / x,y E R } definimos adição assim: (x1,y1) (x2,y2) =(x1 x2,0) e a multiplicação por escalares como no R², ou seja, : a(x,y) = (ax,ay). Nessas condições V é espaço vetorial sobre R

Answer 1

Para ser considerado um espaço vetorial , tem que obrigatoriamente

satisfazer as oito propriedades, e como  em a A3 e M3 não estavam valendo, não é um espaço vetorial.

Agora vamos entender como chegamos nessa reposta.

Um conjunto V é considerado um espaço vetorial quando neste conjunto vale as oito propriedades, a de adição e a de multiplicação.  

Adição:  

A1) $u+v=v+u (x_1,y_1)+(x_2,y_2) \\= (x_{2} ,y_2)+ (x1,y1) (x_1+x_2 , 0) \\= (x_2+x_1 , 0)$, Vale A1  

A2) $u+(v+w) = (u+v)+w (x_1,y_1)+[(x_2,y_2)+(x_3,y_3)] \\= [(x_1,y_1)+(x_2,y_2)]+(x_3,y_3) (x_1,y_1)+[x_2+x_3 , 0] \\= (x_1+x_2 , 0)+(x_3 , y_3) (x_1+x_2+x_3   , 0)\\ = (x_1+x_2+x_3  , 0),$ Vale A2

A3) $u+0 = u (x_1,y_1)+(0,0) \\= (x_1,y_1) (x_1+0,y_1+0) \\= (x_1,y_1) (x_1,0) \\= (x_1,y_1)$, não vale A3

A4) $u+(-u) = 0 (x_1,y_1)+(-x_1,-y_1) \\= (0,0) (0,0)\\=(0,0)$, Vale A4  

Multiplicação:

Adotei que lambda, será representado por B, para poder colocar no latex a equação.

M1)$B(au) = (B(a))u B[a(x_1,y_1)] \\= (Ba)(x_1,y_1) B(ax_1,ay_1) \\= (Bax_1, Bay_1) (Bax_1, Bay_1) \\= (Bax_1, Bay_1)$, Vale M1  

M2) $a(u+v) = au+akv a[(x1,y1)+(x2,y2)] \\= a(x1,y1)+a(x2,y2) a[(x1+x2 , 0)] \\= (ax1,ay1)+(ax2,ay 2) (ax1+ax2 , 0) \\= (ax1+ax2 , 0)$, Vale M2

 

M3) $(B+a)u = Bu+au (B+a)(x_1,y_1) \\= B(x_1,y_1)+a(x_1,y_1) [(B+a)x_1,(B+a)y_1] \\= (Bx_1, By_1)+(ax_1,ay_1)  (Bx_1+ax_1,By_1+ay_1) ≠ (Bx_1+a x_1,0 )$, Não  vale M3

M4) $1u = u 1(x_1,y_1) = (x_1,y_1)    (x_1,y_1) = (x_1,y_1)$ Vale M4