Question

qual a razão da P.A. (3+x, 10-x, 9+x, ...)

Answer 1

Vou utilizar um princípio de média aritmética, onde eu vou somar os termos extremos da progressão aritmética, ou seja, o primeiro e o último termo, que a sua questão dá, e logo depois os dividirei por dois - pois são dois termos que estão sendo somados. E o resultado dessa divisão resultará no termo que fica entre esses dois, no caso, o 10-x.  O primeiro termo é o 3+x e o último é o 9+x.

obs: antes terei de encontrar o valor de "x", para então poder calcular a razão.

Cálculo - para encontrar o valor de "x":

$\frac{3+x+9+x}{2} =10-x \\\\ \frac{2x+12}{2} =10-x \\ 2x+12=2(10-x) \\ 2x+12=20-2x \\ 2x+2x=20-12 \\ 4x=8 \\ x= \frac{8}{4} \\ {\boxed{x=2}$



>>Agora que  sei que "x" equivale a 2, basta substituir na P.A. :
(3+x, 10-x, 9+x)
(3+2, 10-2, 9+2)
(5,8,11)

Para achar a razão, posso utilizar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
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Considerações:
a₁ = primeiro termo
An = último termo da sequência
n = números de termos
r = razão 

Informações:
a₁=5
r=?
An=11
n=3


Cálculo - a razão:

$a_n=a_1+(n-1)*r \\ 11=5+(3-1)*r \\ 11=5+2r \\ 11-5=2r \\ 2r=6 \\ r= \frac{6}{2} \\ \boxed{r=3}$

Com isso, sei que a razão da progressão aritmética é igual  a 3

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor da razão procurada da referida progressão aritmética é:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r = 3\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a progressão aritmética:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(3 + x, 10 - x, 9 + x,\:\cdots)\end{gathered}$

Para calcular a razão da referida P.A. devemos calcular a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor, ou seja:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = A_{n} - A_{n - 1}\end{gathered}$

Se a referida sequência é uma P.A. então todas as razões são iguais. Desse modo, temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} r_{1} = r_{2}\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}10 - x - (3 + x) = 9 + x - (10 - x) \end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10 - x - 3 - x = 9 + x - 10 + x\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x - x -x - x = 9 - 10 - 10 + 3\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4x = -8\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4x = 8\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{8}{4} \end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 2\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor de "x" é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 2\end{gathered}$

Agora podemos calcular a razão. Para isso, fazemos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = 10 - x - (3 + x)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10 - 2 - (3 + 2)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8 - 5\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor da razão é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = 3\end{gathered}$

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