Question

Espm 2018 Na figura abaixo, M, N e P são os pontos de tangência do triângulo retângulo ABC com sua circunferência inscrita. Se AB=3 e Ac=4, a área do triângulo BMN é igual a:

Answer 1

A área do triângulo BMN é igual a 1,6.

Vamos considerar que O é o centro da circunferência e que r é a medida do raio.

Então, os segmentos OM, ON e OP são iguais a r.

Como AB = 3 e AC = 4, podemos concluir que BC = 5 (triângulo pitagórico).

Assim,

BM = 3 - r

PC = NC = 4 - r

BC = 1 + r.

Perceba que o triângulo MNO é isósceles. Então, os ângulos da base são iguais.

Com isso, podemos afirmar que o triângulo BMN também é isósceles.

Logo,

3 - r = 1 + r

2r = 2

r = 1.

Assim, BM = BN = 2.

Podemos calcular a área do triângulo BMN da seguinte maneira:

S = BM.BN.sen(B)/2.

O sen(B) é igual a:

sen(B) = 4/5.

Portanto, a área do triângulo BMN é igual a:

S = 2.2.4/5.1/2

S = 16/10

S = 8/5

S = 1,6.