Question

Determinando todos os valores reais de x, de modo que a parte real do número complexo Z = (x - i)/(x + i) seja positiva, teremos

a) S = (x pertence aos R / x diferente de 1)
b) S = (x pertence aos R / -1 < x < 1)
c) S = (x pertence aos R / x > 1)
d) S = (x pertence aos R / x < -1 ou x > 1)
e) S = (x pertence aos R/ x diferente de -1)

Answer 1

$\frac{x - i}{x + i} = \frac{(x - i)(x - i)}{(x + i)(x - i)} = \frac{ {x}^{2} - 2xi + {i}^{2} }{ {x}^{2} - {i}^{2} }$

$\frac{ {x}^{2} - 2xi - 1}{ {x}^{2} - ( - 1) } = \frac{ {x}^{2} -1 - 2xi }{ {x}^{2} + 1 } \\ = \frac{ {x}^{2} - 1 }{ {x}^{2} + 1} - \frac{2xi}{ {x}^{2} + 1 }$

$\frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{2} + 1 } > 0$

Fazendo f(x) =x²-1 temos que

a=1>0 → concavidade para ↑

Calculando a raiz temos

x²-1=0

x²=1

x=±√1

x=±1

Fazendo o estudo do sinal temos

f(x) >0 se x<-1 ou x>1 e f(x) <0 se -1<x<1

Fazendo g(x) =x²+1 não admite raízes reais porém é positiva para todo x real. Vamos denotar por R o quociente de f(x) por g(x).

Montando o quadro-sinal temos

-1 1

f(x) _++++++|--------------|++++++

g(x) _++++++|++++++ |++++++

R. _+++++++|------------ |++++++

S={x∈lR/ x<-1 ou x>1}

alternativa d