Question

o lado AD de medida 1 do quadrado ABCD é prolongado formando o segmento AE de modo que B, F e E sejam colineares. Se FE mede 1, obtenha a medida X do seguimento DE.

Answer 1

Resposta: X vale 0,765

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiro Entender o desenho com algumas observações:

1. Note que as retas CF e FD são ligeiramente diferentes, onde CF>FD.

2. Note que para o ângulo B see igual a 45° x deveria ser igual a 0.5 e com isso a reta CF também seria igual a 0.5 o que é impossível, pois nesse caso não há como o triângulo FDE ser retângulo e também isósceles, pois sua hipotenusa vale 1, ou seja, 0.5 < x < 1. Isso prova que a observação CF>FD é verdadeira.

3. Sabendo disso podemos notar a formação de três triângulo retângulos equivalentes:

. FDE (triângulo menor)

. FCB (triângulo médio)

. ABE (triângulo maior)

4. Com base nessas informações é possível dizer que a reta BF é igual a 1(um) adicionado da diferença entre 1(um) e x, ou:

BF = 1 + 1 - x

5. Logo observamos que agora temos que o triângulo ABE (triângulo maior) tem como:

. hipotenusa a reta BE = 1 + 1 - x + 1

. cateto oposto a hipotenusa a reta AE = 1 + x

6. Com todos esses dados iremos resolver esse problema por equivalência de triângulos onde:

$\frac{FE}{DE} =\frac{BE}{AE} = \frac{1}{x} = \frac{1+1-x+1}{1+x} = \frac{1}{x} = \frac{3-x}{1+x}$

$(3-x).x = 1+x$  

$x^{2} - 3x = 1+x\\x^{2} -3x -x = 1\\x^{2} - 4x = 1\\x^{2} -4x-1=0$

Δ = (b^2) - 4.a.c

Δ = (4^2) - 4. 1. - 1

Δ = 16 + 4

Δ = 20

x1 = (-4 - √20)÷2 = 0,47÷2 = 0,235

x2 = (-4 + √20) = -1,47÷2 ≅ - 0,74

OBS 1: Como 0,5 < x < 1 logo x2 não pode ser o resultado.

OBS 2: O valor que iremos ter como resposta não será x1 pois esse é resultado de uma relação, logo se x < 1 então o resultado será 1 - x1 ou 1 - 0,235 = 0,756