Question

11) (UFRJ) As cinco circunferências da figura são tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das exteriores também tangencia duas das demais exteriores.

Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1, calcule a área da região sombreada situada entre as cinco circunferências.

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Answer 1

Resposta:

Área do quadrado = L²= 2²=4 unid. área

(2+2r)²=2²+2²

4+8r+4r²=8

4r²+8r-4=0

r²+2r-1=0

r'=√2-1

r''<0 , não serve

Área da círculo  pequeno =(√2-1)²pi

somado a  1/4 de áreas dos outros 4 círculos de raio =1,

que é a área de um circulo completo= pi unid. área, devemos retirar da área do quadrado

Área que queremos = 4 - (√2-1)²pi - pi  unid. área

Answer 2

Olá Alessandra!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{2 \cdot (2 - 2\pi + \pi\sqrt{2})}}$

Explicação passo-a-passo:

Fiz assim:

A partir dos centros de cada circunferência exterior, temos um QUADRADO de lado 2. Isto posto, note que:

O quadrado é composto por quatro setores circulares, a circunferência interior e a área (hachurada) de interesse!

Se subtrairmos os quatro setores da área do quadrado formado pelos centros das circunferências, iremos obter a área hachurada adicionada da área da circunferência interior. Com isso, far-se-á necessário determinar a área dessa circunferência.

Sejam $\displaystyle \mathtt{r}$ o raio da circunferência interior e $\displaystyle \mathtt{D}$ a diagonal do quadrado. Sabendo que as diagonais de um quadrado se intersectam no centro deste quadrilátero, traçamos as diagonais e notamos (por simetria) que tal ponto de intersecção coincide com o centro da circunferência interior.

Observe a medida da diagonal: não é difícil notar que ela corresponde a soma de dois raios de circunferências exteriores com o diâmetro da circunferência interior. Em símbolos,

$\displaystyle \mathtt{D = 1 + (r + r) + 1}$    

Daí, uma vez que a diagonal do quadrado é dada por $\displaystyle \mathtt{l\sqrt{2}}$, onde 'l' é o lado do quadrado, fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{D = 2 + 2r} \\ \mathsf{l\sqrt{2} = 2 + 2r} \\ \mathsf{2\sqrt{2} = 2(1 + r)} \\ \mathsf{\sqrt{2} = 1 + r} \\ \boxed{\mathsf{r = \sqrt{2} - 1}}$

Bom! até aqui tiramos que o raio da circunferência interior vale $\displaystyle \boxed{\mathtt{\sqrt{2} - 1}}$.

Logo, sua área vale:

$\\ \displaystyle \mathsf{S_{\mathsf{c \, interior}} = \pi r^2} \\\\ \mathsf{S_{\mathsf{c \, interior}} = \pi \cdot (\sqrt{2} - 1)^2} \\\\ \mathsf{S_{\mathsf{c \, interior}} = \pi \cdot (2 - 2\sqrt{2} + 1)} \\\\ \boxed{\mathsf{S_{\mathsf{c \, interior}} = \pi(3 - 2\sqrt{2})}}$

Por conseguinte, devemos determinar a área de cada setor circular. Segue:

Por simetria, é fácil perceber que o setor circular em questão corresponde a $\displaystyle \mathtt{1/4}$ da área total da circunferência exterior. Portanto,

$\\ \displaystyle \mathsf{S_{\mathsf{setor}} = \frac{1}{4} \cdot \pi R^2} \\\\ \mathsf{S_{\mathsf{setor}} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2} \\\\ \boxed{\mathsf{S_{\mathsf{setor}} = \frac{\pi}{4}}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{S_h = S_{\mathsf{quadrado}} - 4 \cdot S_{\mathsf{setor}} - S_{\mathsf{c \, interior}}} \\\\ \mathsf{S_h = 2^2 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi(3 - 2\sqrt{2})} \\\\ \mathsf{S_h = 4 - \pi - \pi(3 - 2\sqrt{2})} \\\\ \mathsf{S_h = 4 - \pi(1 + 3 - 2\sqrt{2})} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_h = 4 - \pi(4 - 2\sqrt{2})}}}$