Question

URGENTE, PRECISO ENTREGAR AMANHÃ!!! Os números -2, -1, 0, 1 e 2 são soluções simples da equação polinomial p(x)=0. Se p(x) é tal que p(raiz de 2)=2 raiz de 2, qual o valor de p(raiz de 5)?

Answer 1

Resposta: P(√5) = - 4√5

Explicação passo-a-passo:

Um polinômio pode ser escrito sob forma de suas raizes da seguinte forma:

(X - A).(X - B).(X + C),

onde A, B e (- C) seriam as suas raizes (solucoes).

No enunciado já é dado as raizes. Sendo assim podemos obter o Polinomio que resulta essas raizes. Como foram dadas 5 raizes, o polinomio será:

P(X) = (X - A).(X - B).(X - C).(X - D).(X - E)

(poderiamos resolver assim algebricamente, mas vamos pelo mais facil)

Como A = -2; B = -1; C = 0; D = 1 e E = 2 (informaçoes no enunciado), entao

P(X) = (X + 2).(X + 1).(X - 0).(X - 1).(X - 2)

P(X) = (X + 2).(X + 1).X.(X - 1).(X - 2)      reearrumando

P(X) = X.(X + 2).(X - 2).(X + 1).(X - 1)

Dos produtos notaveis, sabemos que (A + B).(A - B) = A² - B²... Sendo assim

P(X) = X.(X² - 4).(X² - 1)

P(X) = X.(X⁴ - X² - 4X² + 4)

P(X) = X.(X⁴ - 5X² + 4)

P(X) = X⁵ - 5X³ + 4X

Foi dito que P(√2) = 2√2.... Verifiquemos:

P(X) = X⁵ - 5X³ + 4X

P(√2) = (√2)⁵ - 5.(√2)³ + 4.(√2) = -2√2

(se multiplicarmos P(X) por -1, as raizes nao se alterarao)

P(X) = - X⁵ + 5X³ - 4X   fazendo P(√2) novamente

- (√2)⁵ + 5.(√2)³ - 4.(√2) = 2√2   logo P(X) = - X⁵ + 5X³ - 4X

Calculando o que tanto é pedido na questao:  P(√5)

P(X) = - X⁵ + 5X³ - 4X

P(√5) = -(√5)⁵ + 5.(√5)³ - 4.(√5)

P(√5) = - 25√5 + 25√5 - 4√5

P(√5) = - 4√5