Question

Em uma lanchonete há 7 frutas diferentes,a recomendação de uma nutricionista foi de ingerir 3 frutas,pelo menos 2 iguais.De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode seguir a recomendação da nutricionista nessa lanchonete?

Answer 1

Temos duas possibilidades:  Escolher 2 frutas iguais e 1 diferente ou escolher 3 frutas iguais.

Escolhendo 2 frutas iguais e 1 diferente: Temos então de escolher 2 variedades de frutas dentre as 7 disponíveis, ou seja, teremos uma combinação C(7,2), acompanhe:

$C_{7,2}~=~\dfrac{7!}{2!\,.\,(7-2)!}\\\\\\C_{7,2}~=~\dfrac{7!}{2!\,.\,5!}\\\\\\C_{7,2}~=~\dfrac{7~.~6~.~5!}{2\,.\,5!}\\\\\\C_{7,2}~=~\dfrac{42~.~1}{2~.~1}\\\\\\\boxed{C_{7,2}~=~21~formas~diferentes~de~escolha}$

Note ainda que, alem de escolher quais 2 frutas farão parte do lanche, podemos escolher qual das duas será repetida, logo o numero de formas diferentes será dobrada, ou seja:

Teremos então: 2 x 21 = 42 formas.

Escolhendo 3 frutas iguais: Temos então de escolher 1 variedade de fruta dentre as 7 disponíveis, ou seja, teremos uma combinação C(7,1), acompanhe

$C_{7,1}~=~\dfrac{7!}{1!\,.\,(7-1)!}\\\\\\C_{7,1}~=~\dfrac{7!}{1\,.\,6!}\\\\\\C_{7,1}~=~\dfrac{7~.~6!}{1\,.\,6!}\\\\\\C_{7,1}~=~\dfrac{7~.~1}{1~.~1}\\\\\\\boxed{C_{7,1}~=~7~formas~diferentes~de~escolha}$

Somando-se as possíveis combinações de lanche, temos um total de:

$Total~de~lanches~diferentes~=~42+7\\\\\\\boxed{Total~de~lanches~diferentes~=~49}$