Question

Em cada item, determine os valores de m para os quais a condição sobre a equação de incógnita x seja satisfeita.

a) -15x^2+3x+m+2=0
Condição: tenha duas raízes reais e distintas

b) 3x^2-(2m+6)x+12=0
Condição: tenha duas raízes reais e iguais

c)2x^2+8x-4m+2=0
Condição: não tenha raiz real

d)(m-2)x^2-2mx+m-1=0
Condição: tenha duas raízes reais e iguais

Answer 1

Os valores de m encontrados foram: a) m > 43/20; b) m = -9 ou m = 3; c) m < -3/2; d) m = 4/3.

Em uma equação do segundo grau vale as seguintes regras:

• Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais distintas
• Se Δ = 0, então a equação possui duas raízes reais iguais
• Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.

a) Dado que -15x² + 3x + m + 2 = 0, temos que:

Δ = 3² - 4.(-15).(m + 2)

Δ = 9 + 60m + 120

Δ = 60m + 129

Para a equação ter duas raízes reais distintas, temos que:

60m + 129 > 0

60m > -129

m > 43/20.

b) Dado que 3x² - (2m + 6)x + 12 = 0, temos que:

Δ = (-2m - 6)² - 4.3.12

Δ = 4m² + 24m + 36 - 144

Δ = 4m² + 24m - 108.

Para a equação ter duas raízes reais iguais:

4m² + 24m - 108 = 0

m = -9 ou m = 3.

c) Dado que 2x² + 8x - 4m + 2 = 0, temos que:

Δ = 8² - 4.2.(-4m + 2)

Δ = 64 + 32m - 16

Δ = 32m + 48.

Portanto, para a equação não ter raízes reais:

32m + 48 < 0

32m < -48

m < -3/2.

d) Sendo (m - 2)x² - 2mx + m - 1 = 0, temos que:

Δ = (-2m)² - 4.(m - 2)(m - 1)

Δ = 4m² - 4(m² - m - 2m + 2)

Δ = 4m² - 4(m² - 3m + 2)

Δ = 4m² - 4m² + 12m - 8

Δ = 12m - 8.

Para a equação ter duas raízes reais iguais, devemos ter:

12m - 8 = 0

12m = 8

m = 4/3.