Question

Dada a função f(x) 9x² -12x + 4 podemos afirmar que:

a) Possui dois zeros da função distintos.
b) Possui Im = R.
c) Intercepta o eixo x em apenas um ponto.

Letra c é a correta, gostaria de saber porque a B não pode ser?

Answer 1

Para provarmos que a B é falsa basta apontarmos um contra-exemplo, ou seja, assumimos B e vemos que a afirmação é falsa.

A B diz que a imagem da função f são todos os reais, portanto, para qualquer número real existe pelo menos 1 x que a obtém. Assumimos isso e testaremos para um valor, como -2:

Deste modo, deve existir pelo menos um x tal que:

$f(x) = -2$

$9x^2-12x+4=-2$

$9x^2-12x+6=0$

Vemos o discriminante da função para vermos se a equação possui solução real:

$Delta=b^2-4ac$

$Delta=(-12)^2-4*9*6$

$Delta=144-216$

$Delta=-72$

Perceba que o discriminante é negativo, ou seja, não existe x real tal que a expressão seja verdadeira, ou seja, não existe x tal que f(x)=-2

Se -2 não está na imagem de f, e -2 pertence a R, então a imagem de f não pode ser R.

Outro jeito de observar que a B está incorreta é analisar o gráfico de f, ele alcança um ponto mínimo (ou máximo) global, ou seja, existe um valor em y cujos valores além deste não são alcançados pela função, e se há valores que não são alcançados nos reais, então sua imagem não é o conjunto dos Reais.