Question

(UECE/07) As retas r e s são paralelas, a distância entre elas é 7 m e o segmento AB, com A em r e B em s, é perpendicular a r. Se P e um ponto em AB tal que o segmento AP mede 3 m e X e Y são pontos em r e s, respectivamente, de modo que o ângulo X^PY mede 90º, a menor área possível do triângulo XPY, em m², é:

a) 21
b) 16
c) 14
d) 12

Answer 1

A menor área possível do triângulo XPY, em m², é 12.

Observe a imagem abaixo.

Se AB = 7 m e AP = 3 m, então BP = 4 m.

Vamos considerar que o ângulo PXA é igual a α.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então o ângulo APX mede 90 - α.

Consequentemente, temos que o ângulo BPY é igual a α.

No triângulo APX, temos que:

sen(α) = 3/PX

PX = 3/sen(α).

No triângulo BPX, temos que:

cos(α) = 4/PY

PY = 4/cos(α).

Sabemos que a área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura.

Então, a área do triângulo XPY é igual a:

S = (3/sen(α)).(4/cos(α)).(1/2)

S = 12/2sen(α).cos(α)

S = 12/sen(2α).

Como queremos a menor área possível, então o sen(2α) deverá ser máximo. Isso acontece quando o seno é igual a 1.

Portanto,

S = 12/1

S = 12 m².