Question

Considere os subespaços F1,F2 ⊂ R3 assim definidos: F1 e o conjunto de todos os vetores v = (x,x,x) que tem as três coordenadas iguais e F2 e o conjunto de todos os vetores w = (x,y,0) que tem a ultima coordenada igual a zero. Mostre que R3 = F1 ⊕ F2

alguém consegue me ajudar?

Answer 1

Para que $\mathsf{\mathbb{R}_3 \ = \ F_1 \ \bigoplus \ F_2}$, teremos que ter $\mathsf{v \ = \ u \ + \ w, \ \forall \ v \in \mathbb{R}_3, \ u \ \in \ F_1 ,\ w \in \ F_2}$ e $\mathsf{F_1 \ \cap \ F_2 \ = \ \vec{0}}$.

Por coordenadas, a intersecção desses subespaços é:

$\mathsf{(x_1, x_1, x_1) \ = \ (x_2, y_2, 0) \ \Rightarrow \ x_1 \ = \ x_2 \ = \ y_2 \ = \ 0}$

Ou seja, eles só têm o vetor nulo como elemento comum.

E, supondo $\mathsf{(x, y, z) \ \in \ \mathbb{R}_3}$, teremos:

$\mathsf{(x, y, z) \ = \ (x_1, x_1, x_1) \ + \ (x_2, y_2, 0)}$

$\mathsf{(x, y, z) \ = \ (x_1 + x_2, \ x_1 + y_2, \ x_1)}$

Ou seja, a soma desses subespaços nos dá um espaço de dimensão $\mathsf{3 \ (x_1, x_2, y_2)}$ (como o $\mathsf{\mathbb{R}_3}$).

Sendo $\mathsf{x_1, x_2, y_2}$ escalares quaisquer, chamando então $\mathsf{x_1 \ = \ \alpha, \ x_1 \ + \ x_2 \ = \beta, \ x_1 \ + \ y_2 \ = \ \gamma}$ ($\mathsf{\alpha, \ \beta, \ \gamma \ \in \ \mathbb{R}}$), temos então:

$\mathsf{(x, y, z) \ = \ (\alpha, \ \beta, \gamma)}$, em que $\mathsf{\alpha, \beta, \ \gamma}$ não têm qualquer dependência linear entre si (apenas relações escalares / paramétricas). Assim, conseguimos qualquer vetor de $\mathsf{\mathbb{R}_3}$ como sendo a soma direta de $\mathsf{F_1}$ com $\mathsf{F_2}$.