Question

Ao calcular o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração, assinale a alternativa que corresponde a esse valor: I = ∫ 2 0 ∫ 1 0 ( x 3 + x y ) d x d y .

Answer 1

Resposta:

$\frac{3}{2}$

Explicação passo-a-passo:

$\int\limits^2_0 {\int\limits^1_0 {x^3+xy\, dx} \, dy$

Solucionando primeiramente a integral interior:

$\int\limts^0_1 {x^3+xy} \,dx$

Usando a regra da soma:

$\int\limits^1_0 {x^3}\,dx+\int\limits^1_0xy\, dx$

Sendo $\int\limits^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}*1^4-0=\frac{1}{4}$ e $\int\limits^1_0{xy\,dx=y\int\limits^1_0x\,dx=y*\frac{1}{2}*1^2-0=\frac{1}{2}y$, temos:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{2} y$

Calculando a integral exterior:

$\int\limits^2_0\frac{1}{4}+\frac{1}{2} y\,dy$

$\int\limits^2_0\frac{1}{4}\,dy+\int\limits^2_0\frac{1}{2} y\,dy$

Sendo a antiderivada do primeiro termo $\frac{1}{4}y$ e do segundo $\frac{1}{4}y^2$, temos:

$(\frac{1}{4}*2-0) +(\frac{1}{4}*2^2 -0)$

$\frac{1}{2}+1$

$\frac{3}{2}$