Question

Resolva as EDO's e determine a solução de acordo com a condição dada:
y' + (1-2x).y = x.[e^(-x)]
tem a foto em anexo

Answer 1

$y'(x) + (1 - 2x)y = x {e}^{ - x}$

Está é uma equação diferencial não linear. Para resolver, precisamos torná-la linear multiplicando por um fator integrante i(x).

Cálculo do fator integrante :

$i(x) = {e}^{∫p(x)dx} \\ i(x) = {e}^{∫(1 - 2x)dx} = {e}^{x - {x}^{2} }$

Multiplicando a equação toda por i(x) temos:

$( {e}^{x - {x}^{2} }y(x) )' = x{e}^{ - {x}^{2} }$

Vamos integrar ambos os lados da equação.

$∫( {e}^{x - {x}^{2}}y(x))' : = ∫x {e}^{ - {x}^{2} }dx$

${e}^{x - {x}^{2} } y(x) = - \frac{1}{2} {e}^{ - {x}^{2} } + c\\ y(x) = \frac{ - {e}^{ - {x}^{2} } + c}{2 {e}^{x - {x}^{2} } }$

Para descobrir a constante c, vamos utilizar a informação que o exercício deu.

$y(0) = \frac{ - {e}^{0} + c}{2 {e}^{0} } \\ 2 = \frac{c - 1}{2} \\ c - 1 = 4 \\ c = 4 + 1 = 5$

A solução da equação é:

$y(x) = \frac{ - {e}^{ - {x}^{2} } + 5}{2 {e}^{x - {x}^{2} } }$