Question

(ufop-mg) um observador vê um prédio segundo um ângulo α. após caminhar uma distância d em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo b. podemos afirmar que a altura h do prédio é

Answer 1

Podemos afirmar que a altura h do prédio é:   $h=\frac{dtg(\alpha)tg(\beta)}{tg(\beta)-tg(\alpha)}$

Inicialmente, vamos aplicar a relação trigonométrica referente a tangente do ângulo em cada caso. Vamos considerar a distância do ângulo Beta até o prédio como X. Desse modo, temos duas relações, que seguem abaixo:

$tg(\alpha)=\frac{h}{d+x} \\ \\ tg(\beta)=\frac{h}{x}\rightarrow x=\frac{h}{tg(\beta)}$

Note que isolamos a distância X na segunda equação. Desse modo, podemos substituir esse valor na primeira equação. Ao fazer isso, obtemos a seguinte situação:

$tg(\alpha)=\frac{h}{d+\frac{h}{tg(\beta)}}$

Agora, precisamos trabalhar com a equação para isolar a incógnita "h". Inicialmente, vamos calcular o MMC do denominador da divisão. Depois, seguimos operando a função, até obter o seguinte resultado:

$tg(\alpha)=\frac{h}{d+\frac{h}{tg(\beta)}}=\frac{h}{\frac{dtg(\beta)+h}{tg(\beta)}}=\frac{htg(\beta)}{dtg(\beta)+h} \\ \\ tg(\alpha)(dtg(\beta)+h)=htg(\beta)\\ \\ tg(\alpha)dtg(\beta)+tg(\alpha)h=htg(\beta)\\ \\ htg(\beta)-tg(\alpha)h=tg(\alpha)dtg(\beta)\\ \\ h(tg(\beta)-tg(\alpha))=tg(\alpha)dtg(\beta)\\ \\ \\ \boxed{h=\frac{dtg(\alpha)tg(\beta)}{tg(\beta)-tg(\alpha)}}$