Question

a circunferência do círculo está aumentando a uma taxa de 0,5 metros por minuto. Qual é a taxa de mudança da área do círculo quando o raio é de 4 metros?

a) 3 metros por minuto
b) 4 metros ao quadrado por minuto
c) 4 metros por minuto
d) 2 metros ao quadrado por minuto
e) 7 metros por minuto

Answer 1

$\mathsf{\dfrac{dC}{dt}=0,5m/min}$

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=? }$

$\mathsf{R=4m}$

$\mathsf{C=2\pi.R}\\\mathsf{\dfrac{dC}{dt}=2\pi.\dfrac{dR}{dt}}\\\mathsf{0,5=2\pi.\dfrac{dR}{dt}}$

$\mathsf{\dfrac{dR}{dt}=\dfrac{0,5}{2\pi}=\dfrac{5\div5}{20\pi\div5}=\dfrac{1}{4\pi}m/min}$

$\mathsf{A=\pi.{R}^{2}}\\\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2\pi.R.\dfrac{dR}{dt}}$

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2.\pi.4.\dfrac{1}{4\pi}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2{m}^{2}/min}}}$

Answer 2

A área do círculo muda a uma taxa de 2 metros quadrados por minuto, alternativa D.

Derivadas

A derivada é definida como a taxa de variação de uma função e pode ser calculada através de um limite ou utilizando as regras de derivação.

Nesta questão, devemos aplicar taxas relacionadas. Seja a circunferência calculada por C = 2πr, então, teremos:

dC/dt = 0,5 m/min

Derivando em relação a t:

dC/dt = 2π·dr/dt

0,5 = 2π·dr/dr

dr/dt = 1/4π m/min

A área do círculo é dada por A = πr², então:

dA/dr = 2πr

Como precisamos calcular a variação da área com o tempo, pela regra da cadeia:

dA/dt = dA/dr · dr/dt

dA/dt = 2π·4 · 1/4π

dA/dt = 2 m²/min

Leia mais sobre derivada em:

https://brainly.com.br/tarefa/38549705

#SPJ2