Question

Prove por indução que:

$2^{n} + (-1)^{n+1}$ é divisível por 3

Answer 1

Resposta:

P(n) é  é divisível por 3.

Explicação passo-a-passo:

Hipótese:

P(n) é  é divisível por 3.

- Quando n = 1, tem-se que: 2¹ + (-1)² = 2 + 1 = 3 é divisível por 3.

Portanto, P(1) é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que  P(n) é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale . Deve-se provar que  é divisível por 3, isto é, que P(n + 1) é verdade.

Quando n for par, teremos uma potência de 2 somada com 1, o que resulta em um número divisível por 3.

Quando n é ímpar, teremos uma potência de 2 subtraída de 1, o que resulta em um número divisível por 3.

Portanto, P(n + 1) é verdadeira.

Como para todo natural n inicial era arbitrário, fica provado então que para todo n ∈ IN, P(n) => P(n + 1).