Question

considere uma placa de metal com formato indicado na figura abaixo se o perímetro da placa = 22 m e sua área é igual a 18 m ao quadrado Quanto mede x e y​

Answer 1

Para encontrar o valor de x e y teremos que criar um pequeno sistema.

$Per\acute{i}metro: \\\\ x + x + y + x + y+x+x + 3x = 22 \\ 8x+2y=22 \rightarrow \boxed{4x+y=11} \\\\ \acute{A}rea: \\\\ 3x*x+y*x = 18 \\ \boxed{3x^2+xy=18} \\\\ Sistema: \\\\ \left \{ {{4x+y=11} \atop {3x^2+xy=18}} \right.$

Resolvendo esse sistema pelo método da substituição:

$\left \{ {{4x+y=11} \atop {3x^2+xy=18}} \right. \\\\ y = 11 - 4x \\\\ 3x^2+x*(11-4x)=18 \\ 3x^2+11x-4x^2=18 \\ -x^2+11x-18=0 \rightarrow Multiplica \ por \ \boxed{-1} \downarrow \\ x^2-11x+18=0 \rightarrow Aplica \ Bh\acute{a}skara \downarrow \\\\ \Delta = (-11)^2-4*1*18 \\ \Delta = 121-72 \\ \Delta = 49$

Achando o x:

$x = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x = \frac{11\pm \sqrt{49}}{2*1} \\ x' = \frac{11+7}{2} = \frac{18}{2} = \boxed{9} \\ x'' = \frac{11-7}{2} = \frac{4}{2} = \boxed{2}$

Substituindo os valores para encontrar o valor de y em uma das equações do nosso sistema:

$y = 11 - 4x \\\\ Para \ x = 9: \\\\ y = 11-4*9 \\ y = 11-36 \\ y = -25 \rightarrow Esse \ n\tilde{a}o \ pode \ ser \ pois \ medida \ n\tilde{a}o \ pode \ ser \ negativa. \\\\ Para \ x = 2: \\\\ y = 11-4*2 \\ y = 11-8 \\ y = 3$

Logo, o valor de x e y é:

$\boxed{(x,y) = (2, 3)}$

Provando:

Perímetro:

$8x+2y=22 \\ 8*2+2*3 = 22 \\ 16+6=22 \\ \boxed{22=22}\checkmark$

Área:

$3x^2+xy=18 \\ 3*(2)^2+2*3=18 \\ 3*4+6=18 \\ 12+6=18 \\ \boxed{18=18}\checkmark$