Question

usando as formulas de adição determine: cos75
tg75
sen90
cos90
tg90​

Me Ajudem Gente Por Favor!!

Answer 1

As fórmulas de adição de arcos são:

$\boxed{sen(\alpha+\theta) = sen\alpha*cos\theta+sen\theta*cos\alpha} \\ \boxed{cos(\alpha+\theta) = cos\alpha*cos\theta + sen\alpha*sen\theta} \\ \boxed{tg(\alpha+\theta) = \frac{tg\alpha+tg\theta}{1-tg\alpha*tg\theta}}$

cos75º = cos(45º + 30º)

$cos(45\º + 30\º) = cos45\º*cos30\º-sen45\º+sen30\º \\ cos(45\º + 30\º) = \frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2} \\ cos(45\º+30\º) = \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4} \\ cos(45\º+30\º) = \boxed{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

tg(75º) = tg(45º+30º)

$tg(45\º+30\º) = \frac{tg45\º+tg30\º}{1-tg45\º*tg30\º} \\ tg(45\º+30\º) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1*\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ tg(45\º+30\º) = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} \\ tg(45\º+30\º) = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \rightarrow Multiplica \ pelo \ conjugado \ do \ denominador \downarrow$

$tg(45\º+30\º) = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} * \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \rightarrow Em \ cima \ fica \ \boxed{(a+b)^2} \ e \ embaixo \ \boxed{a^2-b^2} \\ tg(45\º+30\º) = \frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3} \\ tg(45\º+30\º) = \frac{12+6\sqrt{3}}{6} = \frac{6(2+\sqrt{3})}{6} \\ tg(45\º+30\º) = \boxed{2+\sqrt{3}}$

O sen90º é igual a 1 pelo círculo trigonométrico. O ângulo de 90º está localizado no ponto (0, 1) -> (x,y). X é o cosseno e y é o seno, logo o sen90º é igual a 1.

Vamos provar:

sen90º = sen(60º+30º).

$sen(60\º+30\º) = sen60\º*cos30\º+sen30\º*cos60\º \\ sen(60\º+30\º) = \frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}*\frac{1}{2} \\ sen(60\º+30\º) = \frac{\sqrt{9}}{4}+\frac{1}{4} \\ sen(60\º+30\º) = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4}\\ sen(60\º+30\º) = \boxed{1}$

Já o cos90º é igual a zero pelo mesmo motivo do sen90º, só que como o ângulo de 90º está localizado no ponto (0, 1), cosseno é igual a zero, pois cosseno equivale ao eixo das abscissas.

Provando:

cos(90º) = cos(60º+30º)

$cos(60\º+30\º) = cos60\º*cos30\º -sen60\º*sen30\º \\ cos(60\º+30\º) = \frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{1}{2} \\ cos(60\º+30\º) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ cos(60\º+30\º) = \boxed{0}$

Lembrando que o cosseno é do 'contra', quando somamos dois ângulos, devemos subtrair na hora de efetuar a multiplicação...

A tg90º é indefinida,