Question

Seja ABC um triângulo equilátero.


1-Mostre, mediante o cálculo de áreas, que as três alturas de ABC têm o mesmo comprimento.


2-Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer no interior de ABC a seus lados independe da posição do ponto, e é igual ao comprimento das alturas de ABC.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Hipótese             Tese

A1 = A2 = A3 => h1 = h2 = h3

Temos que ΔABC é equilátero, logo ambos os seus lados tem medida L. Temos ainda que a área de um triângulo equilátero é dada por

A = L²√3/4, assim A = A1 = A2 = A3 = L²√3/4

Mas,

h = h1 = h2 = h3

Assim,

A = b.h/2 => L.h/2 = L²√3/2 => h = 2/L.L²√3/4 => h = L√3/2, ou seja, h = h1 = h2 = h3 = L√3/2 c.q.d