Obtenha o conjunto solução das equações a seguir, para
0<x<2pi
a) tg²x =1/3
b) (tg²x - 3)(tg⁴x - 1) = 0 (Sugestão: Aplique a proprie-
dade do produto nulo.)
c) tg²x-tg x = 0 (Sugestão: Fatore o primeiro membro e
aplique a propriedade do produto nulo.)
Respostas
O conjunto solução das equações são: a) {π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6}, b) {π/4, π/3, 2π/3, 3π/4, 5π/4, 4π/3, 5π/3, 7π/4}, c) {π/4, π, 7π/4}.
a) Observe que:
tg²(x) = 1/3
tg(x) = ±1/√3
tg(x) = ±√3/3.
A tangente de π/6 é igual a √3/3. Então, os possíveis valores no intervalo 0 < x < 2π são: π/6, 5π/6, 7π/6 e 11π/6.
b) Em (tg²(x) - 3)(tg⁴(x) - 1) = 0 temos duas possibilidades:
tg²(x) - 3 = 0 ou tg⁴(x) - 1 = 0.
De tg²(x) - 3 = 0, temos que:
tg²(x) = 3
tg(x) = ±√3.
Logo, os valores de x são: π/3, 2π/3, 4π/3 e 5π/3.
De tg⁴(x) - 1 = 0, temos que:
tg⁴(x) = 1
tg(x) = ±1.
Logo, os valores de x são: π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4.
c) Perceba que em tg²(x) - tg(x) = 0, podemos colocar tg(x) em evidência.
Então:
tg(x)(tg(x) - 1) = 0
tg(x) = 0 ou tg(x) - 1 = 0.
Da primeira possibilidade, temos apenas um valor para x: π.
Para a segunda possibilidade, temos os valores para x: π/4 e 7π/4.