Question

Classifique as retas e e a abaixo em paralelas, perpendiculares e concorrentes
r : 3x - 2y - 1 = 0 e s : 2x + 3y + 1= 0

Answer 1

Para esta classificação, vamos precisar dos coeficientes angulares das retas.

Para facilitar, vamos reescrever as equações das retas na forma reduzida (y=ax+b), ou seja, vamos isolar "y" nas equações dadas.

$r:~~3x-2y-1~=~0\\\\\\r:~~-2y~=~1-3x\\\\\\r:~~\boxed{y~=~\frac{3}{2}\,x~-~\frac{1}{2}}\\\\\\\\s:~~2x+3y+1~=~0\\\\\\s:~~3y~=~-1-2x\\\\\\s:~~\boxed{y~=~-\frac{2}{3}\,x~-~\frac{1}{3}}$

O coeficiente angular da reta é dado por "a" em "y=ax+b", ou seja, os coeficientes das retas "r" e "s" são, respectivamente, 3/2  e  -2/3.

Teremos então a seguinte classificação:

--> Coeficientes angulares iguais:  Retas Paralelas

--> Coeficientes angulares diferentes: Retas Concorrentes

--> Se a relação entre os dois coeficientes a₁ e a₂ for $\boxed{a_1=-\dfrac{1}{a_2}}$: Retas Perpendiculares.

Como podemos ver pelos coeficientes (diferentes), as retas são concorrentes. Vamos verificar se são perpendiculares:

$a_1~=\,-\dfrac{1}{a_2}\\\\\\\frac{3}{2}~=\,-\dfrac{1}{-\frac{2}{3}}\\\\\\\frac{3}{2}~=\,\dfrac{1}{\frac{2}{3}}\\\\\\\frac{3}{2}~=~\frac{1}{1}\,.\,\frac{3}{2}\\\\\\\frac{3}{2}~=~\frac{3}{2}~~~\boxed{\checkmark}$

Como os coeficientes respeitam a relação, as retas são, também, perpendiculares.