(IME) Sabendo-se que "m" "n" são inteiros positivos tais que 3^m+14400=n^2, determine o resto da divisão de m+n por 5.
Explique passo a passo e detalhadamente.
Respostas
(IME) Sabendo-se que "m" "n" são inteiros positivos tais que
3^m + 14400 = n^2, determine o resto da divisão de m + n por 5.
vamos utilizar o produto notável x^2 - y^2 = (x + y) * (x - y)
e a regra das potencias a^k = a^j * a^i
3^m + 14400 = n^2
3^m = n^2 - 14400
3^m = (n + 120) * (n - 120)
3^m = 3^a * 3^b com m = a + b
3^a = n + 120 (I)
3^b = n - 120 (II)
(I) - (II)
3^a - 3^b = 240
fatoração
3^b * (3^(a - b) - 1) = 3 * 80
valor de b
3^b = 3, b = 1
valor de a
3^(a - 1) - 1 = 80
3^(a - 1) = 81 = 3^4
a - 1 = 4
a = 5
valor de m
m = a + b = 5 + 1 = 6
valor de n^2 e n
n^2 = 3^6 + 14400 = 15129
n = 123
determine o resto da divisão de m+n por 5
n + m = 123 + 6 = 129
129 = 5 * 25 + 4
o resto vale 4.
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
14400 | 2
7200 | 2
3600 | 2
1800 | 2
900 | 2
450 | 2
225 | 3
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1
14.400 = 2⁶ . 3² . 5² = 2² . 2² . 2² . 3² . 5² = (2.2.2.3.5)² = 120²
n² - 14400 = 3^m
n² - 120² = 3^m
(n - 120)(n + 120) = 3^m
Perceba que os fatores (n - 120) e (n + 120) são potências de 3, no fator n - 120, o menor valor possível para n é 123, pois 123 - 120 = 3, n + 120 = 123 + 120 = 243 = 3⁵
Então, 3⁵ . 3 = 3^m ⇒ 3⁶ = 3^m ⇒ m = 6
n + m = 123 + 9 = 129
O menor valor que dá divisão exata pra 5 é 125, portanto o resto da divisão de 129 por 5, o resto é 4.