Question

O gás de um balão esférico escapa à razão de 2dm^3/min. Mostre que a taxa de variação da superfície do balão, em relação ao tempo, é inversamente proporcional ao raio. Dado: A superfície de um balão de raio r em área S = 4pir^2

Answer 1

$\frac{d_{S}}{d_{t}}=\frac{4}{r}$.

Estamos falando de taxa de variação, e para calcular a taxa de variação do volume temos:

$V=\frac{4}{3}.\pi.r^3$

Para a primeira equação temos:

I=$\frac{d_{v}}{d_{t}}=\frac{4}{3}.\pi .3.r^2 \frac{d_{R}}{d_{t}}\\ 2 = 4.\pi.r^2.\frac{d_{r}}{d_{t}}\\\frac{d_{R}}{d_{t}}=\frac{1}{2}.\pi.r^2$

Para a segunda equação temos:

II =$S=4.\pi.r^2\\\frac{d_{S}}{d_{t}}= 4.\pi.2.r\\\frac{d_{S}}{d_{t}}= 8.\pi.r\frac{d_{r}}{d_{t}}$

Substituindo I em II:

$\frac{d_{S}}{d_{t}}=8.\pi.r.(\frac{1}{2}.\pi.r^2) \\\frac{d_{S}}{d_{t}}=\frac{4}{r}$

Espero ter ajudado, bons estudos!