Question

Das as matizes A= | 2 1 -1 3 | e B= | 1 -2 0 -1 |, determine a matrix X (quadrada de ordem 2) tal que (X.B)-1=A.

Segue em anexo a foto :)

Answer 1

Dadas duas matrizes

$\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} i&j\\k&l\end{pmatrix}$

O produto matricial é dado por:

$\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} i&j\\k&l\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ai+bk&aj+bl\\ci+dk&cj+dl\end{pmatrix}</p><p>$

Seja então as matrizes

$A=\begin{pmatrix} 2&1\\-1&3\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix} 1&-2\\0&-1\end{pmatrix}$

O produto [tex] AB[/tex] será

$AB =\begin{pmatrix} 2&1\\-1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-2\\0&-1\end{pmatrix}$

$A B =</p><p>\begin{pmatrix} </p><p> 2\times1+0&-2\times2-1\times1\\-1\times1+0&1\times2-3\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&-1\end{pmatrix}$

Já a inversa, pode ser obtida pelo método de escalonamento da matriz aumentada

O método segue da seguinte forma. Comece com a matriz que você quer inverter. Neste caso é

$AB=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&-1\end{pmatrix}$

Escreva a matriz aumentada:

$\begin{pmatrix}2&-5&1&0\\-1&-1&0&1\end{pmatrix}$

Escalon é até que o lado esquerdo da matriz aumentada se torne a forma unitária $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Assim, o resultado obtido do lado direito será a inversa.

Vamos agora obter este resultado:

$\begin{pmatrix} 2&-5&1&0\\-1&-1&0&1\end{pmatrix}$

Vamos multiplicar a segunda linha por 2

$\begin{pmatrix}2&-5&1&0\\-2&-2&0&2\end{pmatrix}$

Efetuando a soma da primeira linha sobre a segunda linha:

$\begin{pmatrix} 2&-5&1&0\\ 0&-7&1&2\end{pmatrix}$

Vamos agora multiplicar a primeira linha por -7 e a segunda linha por 5:

$\begin{pmatrix} -14&35&-7&0\\ 0&-35&5&10\end{pmatrix}$

Efetuando a soma da segunda linha na primeira linha:

$\begin{pmatrix} -14&0&-2&10\\ 0&-35&5&10\end{pmatrix}$

Simplificando para que o lado esquerdo da matriz expandida tenha a forma unitaria:

$\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\ 0&1&-\frac{1}{7}&-\frac{2} {7}\end{pmatrix}$

A Matriz $(AB) ^{-1}= \begin{pmatrix}\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{2} {7}\end{pmatrix}$