Question

Um esmeril gira com aceleração angular α= 0,35 rad/s2 constante.No instante t = 0, ele tem velocidade angular ω0= -4,6 rad/s e uma linha de referência sobre o mesmo está na horizontal, na posição angular θ0= 0. (a) Em que instante após t = 0 a linha de referência está na posição angular θ= 5,0 rev? (b) Em que instante o esmeril para momentaneamente?

Resposta:(a) T = 32s. (b) t = 13s

Answer 1

Se a aceleração angular é constante e igual a $\alpha = 0.35\textrm{ rad/s}^2$, a velocidade angular é:

$\dfrac{\textrm{d}\omega}{\textrm{d}t} = \alpha \iff \omega(t) = \omega_0 + \alpha t = -4.6\textrm{ rad/s} + \left(0.35\textrm{ rad/s}^2\right) t.$

Portanto, a posição angular é dada por:

$\dfrac{\textrm{d}\theta}{\textrm{d}t} = \omega \iff \theta(t) = \theta_0 + \omega_0t+\dfrac{1}{2}\alpha t^2 = \left(-4.6\textrm{ rad/s}\right)t + \left(0.175\textrm{ rad/s}^2\right) t^2.$

(a) Como uma revolução completa corresponde a $2\pi\textrm{ rad}$, 5 revoluções correspondem a $10\pi\textrm{ rad}$, pelo que:

$\theta(t) = 10\pi\textrm{ rad}\iff \left(-4.6\textrm{ rad/s}\right)t + \left(0.175\textrm{ rad/s}^2\right) t^2 = 10\pi\textrm{ rad}.$

Resolvendo então a equação quadrática, temos:

$\left(0.175\textrm{ s}^{-2}\right) t^2+\left(-4.6\textrm{ s}^{-1}\right)t - 10\pi = 0 \iff t = \dfrac{4.6 \pm \sqrt{4.6^2+4\times0.175\times10\pi}}{2\times0.175}\textrm{ s}.$

Obtemos então duas soluções:

$t_{-}\simeq -5.63\textrm{ s} \qquad \textrm{ou}\qquad t_{+}\simeq 31.9\textrm{ s}.$

Neste caso, a solução pretendida é

$t_{+} \simeq 32\textrm{ s}.$

(b) O esmeril está parado instantaneamente quando a sua velocidade angular se anula, ou seja, para $\omega(t) = 0$:

$\omega(t) = 0 \iff -4.6\textrm{ rad/s} + \left(0.35\textrm{ rad/s}^2\right) t = 0\iff \\\\\iff t = \dfrac{4.6\textrm{ rad/s}}{0.35\textrm{ rad/s}^2}\iff t \simeq 13\textrm{ s}.$