Um triângulo ABC isósceles tem os lados AB e AC congruentes . As medidas da projeção ortogonal do lado AC sobre a base BC,
Respostas
AC = 10
x = projeção ortogonal do lado AC sobre a base BC
y = lado AC
z = altura relativa à hipotenusa
Como essas medidas formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos:
z = x + r
y = x + 2r
O perímetro do triângulo ABC é expresso por:
P = 2x + 2y
Como esse perímetro vale 32, temos:
2x + 2y = 32
Substituindo y, fica:
2x + 2.(x + 2r) = 32
2x + 2x + 4r = 32
4x + 4r = 32
Dividindo tudo por 4:
x + r = 8
Isolando r, fica:
r = 8 - x (I)
O triângulo ADC é retângulo em D. Assim, por Pitágoras, temos:
y² = x² + z²
Substituindo y e z, temos:
(x + 2r)² = x² + (x + r)²
x² + 4xr + 4r² = x² + x² + 2xr + r²
x² + 4xr + 4r² = 2x² + 2xr + r²
x² - 2x² + 4xr - 2xr + 4r² - r² = 0
- x² + 2xr + 3r² = 0 (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
- x² + 2x.(8 - x) + 3.(8 - x)² = 0
- x² + 16x - 2x² + 3.(64 - 16x + x²) = 0
- x² - 2x² + 16x + 192 - 48x + 3x² = 0
- 3x² + 3x² + 16x - 48x + 192 = 0
- 32x + 192 = 0
- 32x = - 192
32x = 192
x = 192/32
x = 6
Agora, calculamos a medida y.
2x + 2y = 32
2.6 + 2y = 32
12 + 2y = 32
2y = 32 - 12
2y = 20
y = 20/2
y = 10
Portanto:
AC = 10
