Question

(ITA) Seja k ∈ R tal que a equação 2x³ + 7x² + 4x + k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x₁ e uma raiz x₂ , distinta de x₁. Então, ( k + x₁)x₂ é igual a:

A) -6
B) -3
C) 1
D) 2

Answer 1

Resposta:

2x³ + 7x² + 4x + k = 0

a=2  ;  b =7  ; c=4   e d=k

Relações de Girard:

x1 + x2 + x3 = – b/a  

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a  

x1 * x2 * x3 = – d/a

se x1=x3

{2x1 + x2  = –7/2  

{x1 * x2 + x1 * x1+ x2 * x1 = 4/2=2  

{x1 * x2 * x1 = – k/2

fazendo x1=x  e x2=y    , para facilitar as contas

{2x + y  = -7/2   ==>y=-7/2-2x

{2xy + x²= 2 ==>2x*(-7/2-2x)+x²=2

-7x-4x²+x²=2

3x²+7x+2=0 ==>  x'=-2  e x''=-1/3

Se x=-2  ==>y=-7/2+4 =1/2

Se x=-1/3 não serve x1 é dupla e inteira

temos o par (-2 ,1/2) =(x1,x2)

Para o par (-2 ,1/2)

{x²y = – k/2

(-2)²*(1/2)=-k/2  ==>-k/2=2 ==>k=-4

(k+x1)*x2= (-4-2)*(1/2) =-3

Letra B