Question

Em uma progressão aritmetica de 23 termos, a soma do a4 com a20 é 120. Qual a soma dos termos desta P.A?

Answer 1

Podemos começar com duas abordagens diferentes.

1) Reescrever os termos a4 , a20 e a23 em função de a1 utilizando a equação do termo geral da PA.

2) Perceber que, nessa sequencia de 23 termos, a20 e a4 são termos equidistantes dos extremos.

A segunda forma passa, por vezes, despercebida, logo é interessante que se saiba utilizar as duas formas.

Forma 1:

$\boxed{a_n~=~a_1+(n-1)\,.\,r}\\\\\\\\a_4~=~a_1+(4-1)\,.\,r\\\\\boxed{a_4~=~a_1+3r}\\\\\\a_{20}~=~a_1+(20-1)\,.\,r\\\\\boxed{a_{20}~=~a_1+19r}\\\\\\a_{23}~=~a_1+(23-1)\,.\,r\\\\\boxed{a_{23}~=~a_1+22r}$

Substituindo a4 e a20 na equação dada:

$a_4+a_{20}~=~120\\\\\\a_1+3r~+~a_1+19r~=~120\\\\\\2a_1+22r~=~120\\\\\\2a_1~=~120-22r\\\\\\a_1~=~\frac{120-22r}{2}\\\\\\\boxed{a_1~=~{60-11r}}$

Agora, utilizando a equação da soma dos termos da PA:

$S_n~=~\dfrac{(a_1+a_n)\,.\,n}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(a_1+a_{23})\,.\,23}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(60-11r+(a_1+22r)\,)\,.\,23}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(60-11r+(60-11r+22r))\,.\,23}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(120)\,.\,23}{2}\\\\\\S_{23}~=~60~.~23\\\\\\\boxed{S_{23}~=~1380}$

Forma 2:

Como percebemos que a4 e a20 são equidistantes dos extremos, então:

$\boxed{a_4+a_{20}~=~a_1+a_{23}}$

Utilizando esta informação na equação da soam de termos da PA, temos:

$S_n~=~\dfrac{(a_1+a_n)\,.\,n}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(a_1+a_{23})\,.\,23}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(a_4+a_{20})~.~23}{2}\\\\\\S_{23}~=~\dfrac{(120)\,.\,23}{2}\\\\\\S_{23}~=~60~.~23\\\\\\\boxed{S_{23}~=~1380}$