Question

Se x' e x" (com x'>x") são as duas raízes reais da equação x-12/x=1, com x/=0, o valor da expressão (x'-x")2 é:
A) 5/3
B)-5/3
C)3/5
D)-3/5
E)-2/3

Answer 1

A resposta encontrada foi $(x'-x'') ^2=49$

Uma observação antes de continuarmos com a resolução. O resultado obtido não condiz com nenhuma das alternativas. Confira se é esta equação correta na sua pergunta.

Dada a equação $x-\frac{12}{x}=1$ podemos trabalhar com a equação equivalente $x^2-12=x$

$x^2-12=x\\x^2-x-12=0$

Vamos resolver esta equação do segundo grau pelo método de completar quadrados.

O método de completar quadrados consiste no fato de que a expressão $(x+a) ^2 =x^2+2ax+a^2$ é um quadrado perfeito.

Por isso, em uma equação do segundo grau da forma $x^2+bx+c$ nós escrevemos $x^2+bx$ como $x^2+2\frac{b}{2}x$ onde $\frac{b} {2}$ é o termo buscado para ocupar a posição: $(x+\frac{b} {2})^2$

Logo, para a equação $x^2-x-12=0$ temos o quadrado perfeito:

$(x-\frac{1}{2})^2=x^2-x+\frac{1}{4}$

Que pode escrito como

$(x-\frac{1}{2})^2- \frac{1}{4}=x^2-x$

Substituindo está nova expressão na equação teremos:

$x^2-x-12=0\\(x-\frac{1}{2})^2- \frac{1}{4}-12=0\\(x-\frac{1}{2})^2- \frac{49}{4}=0\\(x-\frac{1}{2})^2=\frac{49}{4}\\(x-\frac{1}{2})=\pm\frac{7}{2}\\x=\frac{1}{2} \pm\frac{7}{2}$

Assim temos as raízes $x'=4 e x''=-3$

A expressão $(x' - x'') ^2=[4-(-3)]^2=7^2=49$

Nenhuma das opções dadas.