Question

sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero de lado L. A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é:
a resposta é 3. eu gostaria da explicação se possível.

Answer 1

Como pode ver, o triângulo no hexágono é equilátero, portanto, tem todos os ângulos medindo 60º

Achando uma relação entre o apótema do hexágono e o lado:

$sen~60\º=\dfrac{a_{6}}{l}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{a_{6}=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}}$
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O apótema do triângulo equilátero é 1/3 de sua altura (poderíamos calcular fazendo um triângulo retângulo dentro desse. Se preferir, me avise)

A altura de um triângulo equilátero é dada por $l\cdot sen60\º=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$

Então:

$a_{3}=\dfrac{1}{3}\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{l\sqrt{3}}{2}=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}$
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Achando a razão:

$\dfrac{a_{6}}{a_{3}}=\dfrac{(\frac{l\sqrt{3}}{2})}{(\frac{l\sqrt{3}}{6})}\\\\\\\dfrac{a_{6}}{a_{3}}=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{6}{l\sqrt{3}}\\\\\\\dfrac{a_{6}}{a_{3}}=\dfrac{6}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{a_{6}}{a_{3}}=3}}$