Question

Sejam u = AB e v =AC vetores não-nulos, de normas p e q, respectivamente. Prove que o vetor w= qu + pv é paralelo a bissetriz de BAC

Answer 1

mostramos que $w$ é bissetriz utilizando propriedades do produto escalar e identidades trigonométricas.

Sejam os vetore $u$ e $v$ tais que $||u||=p$ é $||v||=q$

Seja também um vetor $w$ tal que $w=qu+pv$

Das propriedade de produto escalar, sabemos que $u \dot v =||u||. ||v|| cos(\theta)$

Vamos tomar o produto escalar $w \dot u$:

$w \dot u=(qu+pv) \dot u\\\\w\dot u =qu\dot u + pv\dot u\\\\w\dot u =qp^2+p(qp\,cos(\theta)\\\\w \dot u=qp^2(1+cos(\theta)$

Lembremos agora das propriedades trigonométicas.

Em especial, A relação fundamental da trigonometria:

$sen^2(\theta)+cos^2(\theta)=1$

E o cosseno da soma:

$cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$

E, juntando as duas relações trigonométricas acima, obtemos:

$sin^2(\theta)=1-cos^2(\theta)\\cos(2\theta)=cos^2(\theta)-sin^2(\theta)=\\\\cos^2(\theta)-(1-cos^2(\theta))\\\\cos(2\theta)=-1+2cos^2(\theta))$

seja $2\theta=x$ então teremos

$cos(x)=2cos^2(x/2))-1\\\\2cos^2(x/2)=1+cos(x)$

retornando ao resultado do produto escalar, teremos:

$w \dot u=qp^2(1+cos(\theta)=qp^2(2cos^2(\theta/2))$

logo, $w$ é bissetriz.