Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior
volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com raio
de 5 cm e altura de 12 cm
Respostas
As dimensões do cilindro são:
r = 10/3 cm
h = 4 cm
Frontalmente, o cilindro tem forma de retângulo, e o cone tem forma de triângulo.
Assim, colocando o cilindro dentro do cone, metade do retângulo correspondente ao cilindro fica dentro de um triângulo retângulo, correspondente à metade do cone.
Assim, por semelhança de triângulo, temos:
12 - h = r
12 5
5.(12 - h) = 12.r
60 - 5h = 12r
- 5h - 12r = - 60
5h + 12r = 60
5h = 60 - 12r
h = 60 - 12r
5
O volume de um cilindro é dado por:
V = π·r²·h
Substituindo o valor de h, temos:
V = π·r²·(60 - 12r)
5
V = 60.π·r² - 12π·r³
5
V = 12π.(5r² - r³)
5
O volume máximo será quando a derivada do volume em função do raio for zero.
dV = 0
dr
dV = 12π.(5.2r²⁻¹ - 3.r³⁻¹)
dr 5
dV = 12π.(10r - 3r²)
dr 5
Como de ser igual a zero, temos:
12π.(10r - 3.r²) = 0
5
10r - 3r² = 0
r.(10 - 3r) = 0
10 - 3r = 0
3r = 10
r = 10/3
Por fim, calculamos a altura.
h = 60 - 12.(10/3)
5
h = 60 - 120/3
5
h = 60 - 40
5
h = 20
5
h = 4
