Question

Com base nos dados da figura, um triângulo retângulo, é CORRETO afirmar que o valor de sen2t é :

a) [x √(4-x²)]/2
b) x √(4-x²)
c) x/2
d) x

Answer 1

Pela fórmula do arco duplo, o seno de duas vezes algum ângulo é dado por:

$\boxed{sen(2\alpha) = 2sen\alpha*cos\alpha}$

Mas antes de resolvermos teremos que achar o valor de cost pela fórmula da relação fundamental da trigonometria que é dada por:

$\boxed{sen^2x+cos^2x = 1}$

Se $sen \alpha = \frac{cateto \ oposto}{hipotenusa}$ que no caso do triângulo retângulo da questão ficaria $sent = \frac{x}{2}$, então é só substituir na fórmula da relação fundamental da trigonometria e achar o valor de cost.

$sen^2x+cos^2x = 1 \\ (\frac{x}{2})^2+cos^2x=1 \\ \frac{x^2}{4}+cos^2x= 1 \\ cos^2x = 1-\frac{x^2}{4} \\ cos^2x = \frac{4-x^2}{4} \\ cosx = \sqrt{\frac{4-x^2}{4}} \\ cosx = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4}} \\ \boxed{cosx = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}}$

Achando o valor de cosx que é igual a cost nós podemos substituir na fórmula do arco duplo de sen2t.

$sen(2\alpha) = 2sen\alpha*cos\alpha \\ sen(2t) = 2sent*cost \\ sen(2t) = 2*\frac{x}{2}*\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} \\ sen(2t) = x*\frac{}{}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} \\ \boxed{sen(2t) = \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}}$

Alternativa A).