Question

$sendo \: a \: + \: b \: = 24 \: \: \: ab \: = 36 \: \: \: \: \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \: e \: igual \: a \: quanto ?$
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Answer 1

O valor da expressão é 2/3.

Inicialmente, vamos determinar os valores das incógnitas "a" e "b". Para isso, vamos utilizar as duas equações que envolvem esses coeficientes. Na primeira equação, vamos isolar uma das variáveis e substituir na segunda. Assim:

$b=24-a\\ \\ a(24-a)=36\\ \\ 24a-a^2=36\\ \\ a^2-24a+36=0$

Note que temos uma equação do segundo grau. Desse modo, vamos utilizar o método de Bhaskara para determinar as raízes da equação. Primeiramente, vamos calcular um Delta da equação e depois vamos calcular os valores das raízes.

$\Delta=(-24)^2-4\times 1\times 36=432\\ \\ x_1=\frac{24+\sqrt{432}}{2\times 1}=\frac{24+12\sqrt{3}}{2}=12+6\sqrt{3}\\ \\  x_2=\frac{24-\sqrt{432}}{2\times 1}=\frac{24-12\sqrt{3}}{2}=12-6\sqrt{3}$

Veja que temos dois valores possíveis para "a", então vamos determinar dois valores para "b". Esses valores são:

$b_1=24-(12+6\sqrt{3})=12-6\sqrt{3}\\ \\ b_2=24-(12-6\sqrt{3})=12+6\sqrt{3}$

Por fim, vamos substituir os pares ordenados na expressão final e determinar seus respectivos valores. Independente dos pares, os valores serão os mesmos, apenas trocando a posição de "a" e "b". Portanto:

$\frac{1}{12+6\sqrt{3}}+\frac{1}{12-6\sqrt{3}}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$