Uma escola tem 100 alunos e 100 armários
numerados de 1 a 100. Inicialmente, todos os armários estão
fechados. O primeiro aluno passa e abre todos os armários
o segundo passa e fecha todos os pares; o terceiro passa e
muda a posição de todos os múltiplos de 3, ou seja, os que
estão abertos ele fecha e os que estão fechados ele abre; o
quarto aluno muda a posição de todos os armários que são
múltiplos de 4; e assim por diante ate o centésimo aluno,
que muda a posição dos armários múltiplos de 100. Depois
da passagem de todos os alunos, quantos armários ficam
fechados?
Gabarito = 90 armários fechados
Respostas
Depois da passagem de todos os alunos, 90 armários ficam fechados.
Inicialmente, perceba que o que vai determinar se cada armário estará aberto ou fechado é o número de divisores. Uma vez que todos os armários começam fechados, eles devem ter um número par de divisores para continuar fechados.
Contudo, veja que a grande maioria dos números possuem um número par de divisores, pois são resultado de um produto entre dois valores. Por isso, vamos analisar os armários que deveriam ficar abertos, ou seja, ter um número ímpar de divisores, e descontar do total.
Todos os números que possuem um número ímpar de divisores são aqueles que formam um quadrado perfeito, ou seja, que possuem raiz inteira. Até 100, esse valores são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Portanto, 10 armários devem ficar abertos e, consequentemente, 90 devem ficar fechados.