Question

(ESPCEX - SP) O coeficiente do termo$x^{98}$ , no desenvolvimento de $(x-1)^{100}$ é:

a) 4950
b) 3200
c) 6300
d)2500

Answer 1

O coeficiente será igual à 4950. Letra a).

Temos aqui o seguinte binômio de Newton:

$(x - 1)^{100}\\\\a = x\\\\b = 1\\\\n = 100$

A fórmula geral para qualquer termo dessa expansão binomial é:

$T_{k+1} = (-1)^kC_{n,k}a^{n-k}b^k$

Para o nosso binômio teremos:

$T_{k+1} = (-1)^kC_{n,k}a^{n-k}b^k = (-1)^kC_{100,k}x^{100-k}*1^k = (-1)^kC_{100,k}x^{100-k}$

O termo que buscamos é $x^{98}$, então:

$x^{100 - k} = x^{98}$

Resolvendo a equação exponencial:

100 - k = 98

k = 100 - 98 = 2

Portanto, vamos ter:

$T_{k+1} = (-1)^kC_{100,k}x^{100-k}\\\\T_{2 + 1} = (-1)^2C_{100,2}x^{100-2}\\\\T_3 = C_{100,2}x^{98} = \frac{100!}{2!98!}x^{98} = \frac{100*99}{2}x^{98} = 4950x^{98}$

Logo a letra a) é a correta.

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