Question

O trapézio ABCD abaixo, circunscrito à circunferência de raio 8cm, é isósceles e tem área igual a 320cm2. Podemos afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADC, nessa ordem é igual a:
A) 4
B) 2
C) 1
D) 5
E) 8
Gabarito: letra A​

Answer 1

h = 2r = 16

ABC = (2x.h)/2 = 16x

ABCD = (2x+2k).h/2 = 320

⇒ x+k = 20

ADC = 320 - 16x = 16.(20-x)

razão = ABC / ADC

razão = 16x / 16.(20-x)

razão = x / (20-x)

(k+x) ² = 16 ² + (x-k) ²

k ² +2kx + x ² = 16 ² + x ² -2kx + k ²

4kx = 16 ²

kx = 64

sistema:

x+k = 20

kx = 64

⇒ k.(20-k) = 64

k ² -20k +64 = 0

Δ = (-20) ² -4.1.64 = 144

k = (20 ± 12) / 2.1

k’ = 32/2 = 16

k” = 8/2 = 4

Naturalmente k será =4.

∴

razão = 16 / 20-16

razão = 16/4 = 4

Answer 2

Resposta:

Alternativa a)

Explicação passo-a-passo:

Chamando de B como a base maior, b a base menor e h a altura do trapézio.

A área (A) é definida:

A=(B+b)h/2

Do enunciado:

r= 8 cm

A = 320 cm²

Como o circulo está inscrito ele tangência o trapézio em B e b, formando um ângulo de 90°. Assim,

h=2r=2.8=16 cm

A=(B+b)h/2

320=(B+b).16/2

B+b=40 (I)

Num trapézio isósceles, com uma circunferência inscrita,  a altura ao quadrado é igual ao produto de B e b  (propriedade - ver desenvolvimento)

h²=Bb

16²=Bb

Bb=256 (II)

É solicitado a razão entre as área dos triângulos ABC e ADC

A(ΔABC)=B.h/2

A(ΔADC)=b.h/2

A(ΔABC)/A(ΔADC)=B.h/2÷b.h/2=B.h/2.2/b.h=B/b (III)

De I e II, temos o sistema:

B+b=40 (I)

Bb=256 (II)

De (I), B=40-b substituindo em (II)

b(40-b)=256

b²-40b+256=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~b^{2}-40b+256=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-40~e~c=256\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-40)^{2}-4(1)(256)=1600-(1024)=576\\\\b^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-40)-\sqrt{576}}{2(1)}=\frac{40-24}{2}=\frac{16}{2}=8\\\\b^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-40)+\sqrt{576}}{2(1)}=\frac{40+24}{2}=\frac{64}{2}=32$

Para b=8, de (I)

B=40-8=32

Para b=32, de (I)

B=40-32=8, descartar essa solução porque b>B

De (III)

B/b=32/8=4

Obs. Propriedade do trapézio isósceles

Na figura abaixo temos as projeções da vértice b sobre B formando um triângulo retângulo.

2m+b=B

2m=B-b

m=(B-b)/2

Do triângulo retângulo:

L²=h²+m²

Teorema de Ptolomeu

L=(B+b)/2

[(B+b)/2]²=h²+[(B-b)/2]²

B²+2Bb+b²=4h²+B²-2Bb+b²

4Bb=4h²

h²=Bb